Question

18．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a=4．

Answer 1

分析 设底面边长为a，根据体积公式用a表示出高h，得出表面积S关于a的函数，利用基本不等式得出答案．

解答 解：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h$=16，
∴h=$\frac{64\sqrt{3}}{3{a}^{2}}$．
∴三棱柱的表面积S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{64\sqrt{3}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{32\sqrt{3}}{a}$+$\frac{32\sqrt{3}}{a}$≥3$\root{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}•\frac{32\sqrt{3}}{a}•\frac{32\sqrt{3}}{a}}$=24$\sqrt{3}$（a＞0）
当且仅当$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=$\frac{32\sqrt{3}}{a}$即a=4时，取等号．
故答案为：4．

点评 本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，不等式的应用，属于中档题．