Question

13．设函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\frac{π}{6}$．
（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；
（2）若x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，函数$g（x）={[f（x+\frac{π}{2}）]^2}$-af（x）+1的最小值为0．求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，根据五点法作图求出ω的值，即可求函数y=f（x）的最小正周期；写出函数y=f（x）的解析式，即可求出它的对称轴；
（2）求出函数f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的取值范围，再化简函数g（x），讨论a的取值，求出函数g（x）取最小值0时a的值．

解答 解：（1）由题意，根据五点法作图可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=$\frac{1}{2}$；
所以函数y=f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是T=2π；
令x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
所以函数y=f（x）的对称轴是x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
（2）由（1）可得函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），
在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上，x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
所以f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
所以g（x）=sin²[（x+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{3}$]-asin（x+$\frac{π}{3}$）+1
=1-sin²（x+$\frac{π}{3}$）-asin（x+$\frac{π}{3}$）+1
=-${[f（x）+\frac{a}{2}]}^{2}$+2+$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$≤1时，-2≤a≤1，函数g（x）的最小值是g（x）_min=2+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，无解；
当-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{1}{2}$时，a＞1，函数g（x）的最小值是g（x）_min=2-$\frac{1}{4}$-a=0，解得a=$\frac{7}{4}$；
当-$\frac{a}{2}$＞1时，a＜-2，函数g（x）的最小值是g（x）_min=2-1-a=0，解得a=1（不合题意，舍去）；
综上，函数g（x）取得最小值0时，a=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了三角函数y=sin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了含有字母系数的二次函数在闭区间上最值的应用问题，是综合性题目．