Question

已知函数（R），为其导函数，且时有极小值．

（1）求的单调递减区间；

（2）若，，当时，对于任意x，和的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；

（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．

 

Answer 1

(1)；(2)；（3）6.

【解析】

试题分析：（1）首先要求得的解析式，其中有两个参数，已知条件告诉我们以及，由此我们把这两个等式表示出来就可解得，然后解不等式即可得递减区间；（2）由（1）可得，，由于，又，当时，，因此此时已符合题意，当时，也符合题意，而当时，，因此我们只要求此时，是二次函数，图象是开口方向向上的抛物线，故可采用分类讨论方法求得的范围，使；（3）不等式为，即，设，由恒成立，只要的最小值大于0即可，下面就是求的最小值，同样利用导函数可求得，于是只要，变形为，作为的函数，可证明它在上是减函数，又，故可得的最大值为6.

（1）由，因为函数在时有极小值，

所以，从而得， 2分

所求的，所以，

由解得，

所以的单调递减区间为， 4分

（2）由，故，

当m>0时，若x>0，则>0，满足条件； 5分

若x=0，则>0，满足条件； 6分

若x<0，

①如果对称轴≥0，即0＜m≤4时，的开口向上，

故在上单调递减，又，所以当x<0时，>0 8分

②如果对称轴＜0，即4＜m时，

解得2<m<8，故4＜m <8时，>0；

所以m的取值范围为（0，8）； 10分

（3）因为，所以等价于

，即，

记，则，

由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以， 12分

对任意正实数恒成立，等价于，即，

记，则，

所以在上单调递减，又，

所以的最大值为． 16分

考点：（1）函数的极值，单调区间；（2）分类讨论；（3）不等式恒成立与函数的最值及函数的单调性.