Question

如图，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）＝1（2）存在定点M(1，0)，

【解析】学生错【解析】
【解析】
(1)略

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)

此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.

由得Q(4，4k＋m)．

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．

设M(x1，0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．

因为＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)，方程无解．

故不存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.

审题引导：(1)建立方程组求解参数a，b，c；(2)恒成立问题的求解；(3)探索性问题的一般解题思路．

规范解答：【解析】
(1)因为AB＋AF2＋BF2＝8，

即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8，(1分)

又AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，(2分)

所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分)

所以b＝＝.故椭圆E的方程是＝1.(4分)

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分)

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)(7分)

此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.(8分)

由得Q(4，4k＋m)．(9分)

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．(10分)

设M(x1，0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．

因为＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)(12分)

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.(13分)

故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(14分)

错因分析：本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M必在x轴上．同时不会利用恒成立求解．