Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在半径为

5

的球面上，且AB=AC=1，BC=

2

，求此三棱柱的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，通过外接球的半径，求出该三棱柱的高．然后求解体积．

解答： 解：由题意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以棱锥的高为：2

( 5 )2-( 2 2 )2

=3

2

，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为：

1

2

×1×1×3

2

=

3 2

2

．
故答案为：

3 2

2

．

点评：本题考查球的球的内接体问题，关键是由组合体的位置关系得到球的半径的关系式，考查学生空间想象能力，是基础题．