Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点为.

若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.

，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 (不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】证明见解析； .

【解析】

设的坐标，求出在处的导数，进而求出在处的切线的方程，令求出的坐标，进而求出的值，到准线的距离为的值可得，进而可得结论；

设直线的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，再求线段的中点坐标，求出的中垂线的方程，将点代入中垂线的方程可得参数的关系，设的坐标，由以为直径的圆截直线的弦长为定值可得的坐标，进而求出到直线的距离，代入面积公式可得关于直线斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值.

解：由抛物线的方程可得，准线方程：，设，

由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，

所以在处的切线方程为：，

令，可得，

即，

所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得

所以，，

可证得：.

设直线的方程为：，，，

直线与抛物线联立，

整理可得：，

，

即，

，，，

所以的中点坐标为：，

所以线段的中垂线方程为：，

由题意中垂线过，所以，即，①

由抛物线的性质可得：，

所以，即，②

设，，

的中点的纵坐标为，

所以以为直径的圆与直线的相交弦长的平方为：

，

要使以为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即

所以到直线的距离为：，

而弦长

，

所以，

将①代入可得

，

设为偶函数，

只看的情况即可，

令，

当，，单调递增；

当，，单调递减，

所以且上，为最大值，

所以的最大值为：.