Question

（本小题满分12分）已知函数，其中e为自然对数的底数，a为常数．

（1）若对函数存在极小值，且极小值为0，求a的值；

（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）（-∞，1]．

【解析】

试题分析：（1）对进行求导，根据a进行讨论，当时，，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；当时，由，可得，由，可得，∴为函数的极小值点，由已知，，即，∴．（2）代入，即，构造，则，

时，，则在时为增函数，∴．①，即时，，在时为增函数，∴，此时恒成立；②，即时，存在，使得，从而）时，，∴在上是减函数，∴时，，不符合题意．综上，a的取值范围是（-∞，1]．

试题解析：（1）∵，∴，

当时，，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；

当时，由，可得，由，可得，∴为函数的极小值点，

由已知，，即，∴； 5分

（2）不等式，即，

设，则，

时，，则在时为增函数，∴．

①，即时，，在时为增函数，∴，此时恒成立；

②，即时，存在，使得，从而）时，，∴在上是减函数，

∴时，，不符合题意．

综上，a的取值范围是（-∞，1]． 12分

考点：1．函数极值、最值求解；2．恒成立问题．