Question

已知tan（α+β）=

2

5

，tan（β-

π

4

）=

1

4

，则sin（α+

π

4

）sin（

π

4

-α）的值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，根据已知条件，得到tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]=

3

22

，然后，求解得到tanα=-

19

25

，然后，再结合sin（α+

π

4

）sin（

π

4

-α）=

1

2

sin[2（α+

π

4

）]=

1

2

cos2α=

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

=

1

2

×

1-(- 19 25 )2

1+(- 19 25 )2

=

66

493

．从而得到结果．

解答： 解：∵tan（α+β）=

2

5

，tan（β-

π

4

）=

1

4

，
∴tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]
=

tan(α+β)-tan(β- π 4 )

1+tan(α+β)tan(β- π 4 )

=

2 5 - 1 4

1+ 2 5 × 1 4

=

3

22

，
∴

1+tanα

1-tanα

=

3

22

，
∴tanα=-

19

25

，
∵sin（α+

π

4

）sin（

π

4

-α）
=

1

2

sin[2（α+

π

4

）]
=

1

2

cos2α
=

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

=

1

2

×

1-(- 19 25 )2

1+(- 19 25 )2

=

66

493

．
故答案为：

66

493

．

点评：本题重点考查了二倍角公式、两角和与差的公式等知识，属于中档题．