Question

如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于单位圆，已知BC平行于x轴，且tan∠xDA=2，记∠xOA=α（0＜α＜

π

2

），∠xOB═β（π＜β＜

3π

2

），则sin（α+β）=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：根据条件求出直线斜率，设出A，B坐标，利用根与系数之间的关系，利用两角和差的正弦公式即可得到结论．

解答： 解：∵tan∠xDA=2，∴直线AB的斜率k=2，
设AB的方程为y=2x+m，
由

x2+y2=1 y=2x+m

，消去y得5x²+4mx+m²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4m

5

，x₁x₂=

m2-1

5

，
∵∠xOA=α（0＜α＜

π

2

），∠xOB═β，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=y₁x₂+x₁y₂=（2x₁+m）x₂+x₁（2x₂+m）=4x₁x₂+m（x₁+x₂）
=4×

m2-1

5

+m•（-

4m

5

）=-

4

5

，
故答案为：-

4

5

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的计算，联立直线方程和圆的方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．