Question

某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．
（Ⅰ）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；
（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；
（Ⅲ）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）准备了10张奖券，从中任意抽取2张，基本事件总数n=

C

2 10

=45，均得到一等奖奖券包含的基本事件个数m₁=

C

2 2

=1，由此利用等可能事件概率计算公式能求出从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率．
（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的情况有两种：没有一等奖或恰有1张一等奖，由此利用互斥事件概率计算公式能求出至多有1张一等奖奖券的概率．
（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）准备了10张奖券，从中任意抽取2张，基本事件总数n=

C

2 10

=45，
均得到一等奖奖券包含的基本事件个数m₁=

C

2 2

=1，
∴从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率：P₁=

m1

n

=

1

45

．
（Ⅱ）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的情况有两种：
没有一等奖或恰有1张一等奖，
∴至多有1张一等奖奖券的概率P₂=

C 3 8

C 3 10

+

C 1 2 C 2 8

C 3 10

=

14

15

．
（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
P（ξ=1）=

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

21

40

，
P（ξ=2）=

C 2 3 C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
∴Eξ=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意等可能事件概率计算公式、互斥事件概率计算公式、排列组合知识的合理运用．