Question

已知函数f（x）=x-

4

x

（1）判断并证明f（x）的奇偶性
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义证明f（x）的奇偶性
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

解答： 解：（1）f（x）是奇函数…．…．…．…（2分）
证明：由已知函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）  …．…．…．…（3分）
又f（-x）=-x+

4

x

=-（x-

4

x

）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．…．…．…．…..…（6分）
（2）证明：在区间（0，+∞）上任取两实数x₁，x₂且x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁-

4

x1

-（x₂-

4

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2+4

x1x2

）   …（9分）
因为x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）…..…（11分）
因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．…．…..（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．