Question

记min{a，b，c}为a，b，c中最小值，若x，y是任意正实数，则M=min{x，

1

y

，y+

1

x

}的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设a=x，b=

1

y

，c=y+

1

x

=

1

a

+

1

b

．都大于0．不妨设a≤b．可得

1

b

+

1

b

-b≤c-a=

1

a

+

1

b

-a≤

1

a

+

1

a

-a．即

2-b2

b

≤c-a≤

2-a2

a

．对a与

2

的大小分类讨论即可得出．

解答： 解：设a=x，b=

1

y

，c=y+

1

x

=

1

a

+

1

b

．都大于0．
不妨设a≤b．则

1

a

≥

1

b

．
则

1

b

+

1

b

-b≤c-a=

1

a

+

1

b

-a≤

1

a

+

1

a

-a．
∴

2-b2

b

≤c-a≤

2-a2

a

．
①当a≥

2

时，c≤a，此时c最小；
②当0＜a＜

2

，c-a≥0，此时a最小，M≤

2

．
综上可得：M的最大值为：

2

．

点评：本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．