Question

定义在R上的奇函数y=f（x）满足不等式：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0(x1≠x2)，若当a＞0时，f（a²）+f（b²-1）＜0，则

(a+1)2+b2

的取值范围是（　　）

• A、（0，2）
• B、（1，2）
• C、（0，

  2

  ）
• D、（1，

  2

  ）

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先y=f（x）满足不等式：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0(x1≠x2)，得函数f（x）是定义在R上的增函数；再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数得f（-x）=-f（x），由当a＞0时，f（a²）+f（b²-1）＜0，可得a²+b²＜1，表示以原点为圆心，1为半径的圆内部分，根据

(a+1)2+b2

的几何意义是（a，b）与（-1，0）的距离，即可得出结论．

解答： 解：由y=f（x）满足不等式：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0(x1≠x2)，得函数f（x）是定义在R上的增函数
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（-x）=-f（x）
因为当a＞0时，f（a²）+f（b²-1）＜0，
所以a²+b²＜1，表示以原点为圆心，1为半径的圆内部分，
因为

(a+1)2+b2

的几何意义是（a，b）与（-1，0）的距离，
所以

(a+1)2+b2

的取值范围是（0，2），
故选：A．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（-x）=-f（x）③明确目标函数的几何意义．