Question

如图，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB，BD=

1

4

BP，C是

AB

的中点．
（1）证明：BP⊥平面COD；
（2）求平面PAC与平面COD所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得OC⊥PA，由等腰三角形性质得OC⊥AB，从而OC⊥平面PAB，进而BP⊥OC，设BP的中点为E，连接AE由三角形中位线定理得OD∥AE，由等腰三角形性质得AE⊥BP，从而BP⊥OC，由此能证明BP⊥平面COD．
（2）以A为原点，AC为x轴，过A平行于CB的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，分虽求出平面APC的法向量和平面COD的一个法向量，由此利用向量法能求出平面PAC与平面COD所成锐二面角的大小．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥PA．
∵C是弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又O是AB的中点，∴OC⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BP⊥OC．
设BP的中点为E，连接AE，∵BD=

1

4

BP，∴OD∥AE，
∵PA=AB，∴AE⊥BP，∴BP⊥OC，
又CO∩OD=O，∴BP⊥平面COD．
（2）解：以A为原点，AC为x轴，过A平行于CB的直线为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，设PA=AB=2，
由题意得A（0，0，0），P（0，0，2），C（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），
平面APC的法向量

n

=（0，1，0），由BP⊥平面COD，得平面COD的一个法向量为

BP

=（-

2

，-

2

，2），
设平面PAC与平面COD所成锐二面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

BP

＞|=|

n • BP

| n |•| BP |

|=|

- 2

8

|=

1

2

，
∴θ=60°，∴平面PAC与平面COD所成锐二面角的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．