Question

已知曲线C：（t²-1）x²+t²y²=t⁴-t²（t≠0，t≠±1）以下结论正确的是

 

（写出所有正确结论的序号）
①曲线C有可能是圆；
②曲线C有可能是抛物线；
③当t＜-1或t＞1，曲线C是椭圆；
④若曲线C是双曲线，则0＜t＜1；
⑤不论t为何值，曲线C有相同的焦点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将曲线C化为标准方程，对分母考虑，由于t²≠t²-1，则曲线C不表示圆，即可判断①；由于t²≠0，t²-1≠0，
即可判断②；若为椭圆，则有t²＞0，且t²-1＞0，解不等式即可判断③；若曲线C表示双曲线，则t²＞0且t²-1＜0，解不等式即可判断④；分别讨论椭圆方程和双曲线方程，求得焦点，即可判断⑤．

解答： 解：曲线C：（t²-1）x²+t²y²=t⁴-t²（t≠0，t≠±1），
即为

x2

t2

+

y2

t2-1

=1，
对于①，由于t²≠t²-1，则曲线C不表示圆，则①错；
对于②，由于t²≠0，t²-1≠0，则曲线C不可能表示抛物线，则②错；
对于③，若为椭圆，则有t²＞0，且t²-1＞0，解得t＞1或t＜-1，则③对；
对于④，若曲线C表示双曲线，则t²＞0且t²-1＜0，解得-1＜t＜0或0＜t＜1，则④错；
对于⑤，若曲线C表示椭圆，由t²＞t²-1，则焦点在x轴上，且为（±1，0），
若曲线C为双曲线，则方程为

x2

t2

-

y2

1-t2

=1，则焦点在x轴上，且为（±1，0），则⑤对．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查方程表示的曲线的形状，考查圆的方程以及圆锥曲线的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．