Question

已知m∈R，设命题p：方程

x2

3-m

+

y2

m+2

=1表示的曲线是双曲线；命题q：椭圆

x2

m+5

+

y2

m

=1的离心率e∈（

1

2

，1）
（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题“p∧q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）根据线标准的方程与双曲线的有关性质可得，进而求出m的范围．
（2）根据题意分别求出命题p、q为真时m的范围，再结合命题“p∧q”是真命题，则p、q都是真命题，进而求出m的范围．

解答： 解：（1）命题p为真命题，即方程

x2

3-m

+

y2

m+2

=1表示的曲线是双曲线；
∴（3-m）（m+2）＜0，
解得m＜-2或m＞3，
∴m的取值范围为（-∞，-2）∪（3，+∞）
（2）∵命题“p∧q”为真命题，
∴p与q都为真命题，
∵椭圆

x2

m+5

+

y2

m

=1的离心率e∈（

1

2

，1），
∴

1

2

＜

c

a

＜1，即

1

4

＜

c2

a2

＜1，
∴

1

4

＜

5

m+5

＜1，且m＞0，
∴0＜m＜15，
由（1）知m＜-2或m＞3，
∴3＜m＜15，
故m的取值范围（3，15）

点评：本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．