Question

7．设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB
（1）求A
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB，利用正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinCcosA+$\sqrt{3}$sinAcosC=2sinAsinB利用和差公式、诱导公式化简即可得出．
（2）$\frac{1}{2}bc$sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，可得bc=8．由余弦定理可得：a²=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$ccosA+$\sqrt{3}$acosC=2asinB，
∴$\sqrt{3}$sinCcosA+$\sqrt{3}$sinAcosC=2sinAsinB，
∴$\sqrt{3}$sin（C+A）=$\sqrt{3}$sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵A为锐角，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）$\frac{1}{2}bc$sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，可得bc=8．
由余弦定理可得：a²=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$≥2bc-bc=bc=8，
当且仅当b=c=2$\sqrt{2}$时取等号．
∴$a≥2\sqrt{2}$．
∴a的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、三角函数求值、基本不等式的性质、和差公式诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．