Question

如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE．平面BCE⊥平面ACE，AE=EB=BC=2
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明：取EC的中点F，连BF，又EB=BC=2，推断出BF⊥EC，平面BEC⊥平面AEC，且平面BCE∩平面ACE=CE，推断出BF⊥平面ACE，又BF?平面BCE，进而可知BF⊥AE，又BC⊥平面ABE，且AE?平面ABE，则BC⊥AE，且BF∩BC=B，根据线面垂直推断出AE⊥平面BCE，又通过线面垂直的性质可知，AE⊥BE．
（Ⅱ）分别取CD，AB的中点M，N，连EM，MN，EN，AE=EB=BC=2，及（Ⅰ）求得DE=CE=2

2

，进而可知EM⊥CD，NM∥AD，由四边形ABCD为矩形，推断MN⊥CD，进而可知∠EMN为二面角A-CD-E的平面角，根据AD⊥平面ABE，推断出MN⊥平面ABE，进而根据线面垂直的性质知MN⊥EN，在Rt△MNE中，求得cos∠EMN，则二面角A-CD-E的余弦值可得．

解答： （Ⅰ）证明：取EC的中点F，连BF，又EB=BC=2，
∴BF⊥EC，
又平面BEC⊥平面AEC，且平面BCE∩平面ACE=CE，
∴BF⊥平面ACE，又BF?平面BCE，
∴BF⊥AE，
又∵BC⊥平面ABE，且AE?平面ABE，则BC⊥AE，且BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE．
（Ⅱ）分别取CD，AB的中点M，N，连EM，MN，EN，
∵AE=EB=BC=2，及（Ⅰ）可知DE=CE=2

2

，
∴EM⊥CD，NM∥AD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴MN⊥CD，
∴∠EMN为二面角A-CD-E的平面角，
∵AD⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，
EN?平面AEB，
∴MN⊥EN，
在Rt△MNE中，EN=

2

，NM=2，EM=

6

，
∴cos∠EMN=

MN

EM

=

6

3

∴二面角A-CD-E的余弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，二面角的平面角的计算．考查了学生空间观察能力和运算能力．