Question

3．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为$500（\sqrt{3}+1）$m．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AC，△ACB是等腰直角三角形，直角△ADE中满足解直角三角形的条件．在直角△BDF中，根据三角函数可得BF，进一步得到BC，即可求出山高．

解答 解：过D分别作DE⊥AC与E，DF⊥BC于F．
∵在Rt△ADE中，AD=1000m，∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=500m．
∵∠BAC=45°，
∴∠DAB=45°-30°=15°，∠ABC=90°-45°=45°．
∵在Rt△BDF中，∠BDF=60°，
∴∠DBF=90°-60°=30°，
∴∠DBA=45°-30°=15°，
∵∠DAB=15°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴BD=AD=1000m，
∴在Rt△BDF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=500$\sqrt{3}$m，
∴山的高度BC为$500（\sqrt{3}+1）$m．
故答案为：$500（\sqrt{3}+1）$．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，根据已知得出FC，BF的长是解题关键．