Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（-x）+f（x+3）=0；当x∈（0，3）时，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，其中e是自然对数的底数，且e≈2.72，则方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的个数为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 确定f（x）的周期为3，函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y=$\frac{x}{6}$的图象，即可得出结论．

解答 解：当x＞0时，f（-x）+f（x+3）=0，∴f（x+3）=-f（-x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）的周期为3，
当x∈（0，3）时，f（x）=$\frac{elnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，
在[0，9]上作出y=f（x）的图象，作出y=$\frac{x}{6}$的图象，如图所示

∴在[0，9]上，有3个交点，由对称性，可得方程6f（x）-x=0在[-9，9]上的解的个数为6，
还有f（0）=0，共7个．
故选：D．

点评 本题考查单调性和极值，函数的奇偶、周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．