Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}（x≤\frac{1}{2}）}\\{lo{g}_{a}x（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$的最大值是2，则a的取值范围是0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．．

Answer 1

分析 对分段函数分区间求解：当x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=4^x≤$\sqrt{4}$=2，当x＞$\frac{1}{2}$时，
f（x）=log_ax＜2，可得0＜a＜1，且log_a$\frac{1}{2}$≤2，求解即可．

解答 解：当x≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）=4^x≤$\sqrt{4}$=2，
∵函数的最大值是2，
∴当x＞$\frac{1}{2}$时，
f（x）=log_ax＜2，
∴0＜a＜1，且log_a$\frac{1}{2}$≤2，
∴0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故a的取值范围是0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查了分段函数，结合题意，得出函数满足的表达式．