Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝

(1)求椭圆C的方程；

(2)设G、H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH.

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）（2）①S△GOH＝②x2＋y2＝

【解析】(1)因为＝，＝，a2＝b2＋c2,

解得a＝3，b＝，所以椭圆方程为

(2)①由解得由　得

所以OG＝，OH＝，所以S△GOH＝.

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG·OH＝R·GH，

因为OG2＋OH2＝GH2，故，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为y＝kx,

由得所以OG2＝，

同理可得OH2＝，(将OG2中的k换成－可得)，R＝，

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得，

故满足条件的定圆方程为：x2＋y2＝