Question

如图，过抛物线C：y2＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x，y1)，B(x2，y2)．

(1)求y1＋y2的值；

(2)若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．

 

Answer 1

（1）y1＋y2＝4.（2）6

【解析】(1)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y2＝4x上，所以A，B，kPA＝，同理kPB＝，依题意有kPA＝－kPB，因为＝－，所以y1＋y2＝4

(2)由(1)知kAB＝＝1，设AB的方程为y－y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，P到AB的距离为d＝，AB＝·＝|y1－y2|＝2|2－y1|，所以S△PAB＝××2|2－y1|＝|－4y1－12||y1－2|＝|(y1－2)2－16|·|y1－2|，令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB＝|t3－16t|，因为S△PAB＝|t3－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t3－16t|＝16t－t3，f′(t)＝16－3t2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6