Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{-lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-ax=0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 作出f（x）和y=ax的函数图象，根据图象及交点个数得出a的范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{1-x，0≤x≤1}\\{-lnx，x＞1}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的函数图象如图所示：

设直线y=ax与y=-lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{-\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=-1，a=-$\frac{1}{e}$．
∵f（x）-ax=0只有一解，
∴y=f（x）与y=ax的函数图象只有1个交点，
∴a≥1或a＜-$\frac{1}{e}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．