Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F且斜率为-$\frac{b}{a}$的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 过点F且斜率为-$\frac{b}{a}$的直线方程为y=-$\frac{b}{a}$（x-c），与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，联立，得到A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{bc}{2a}$），利用△OAF的面积为4ab（O为坐标原点），求出双曲线的离心率．

解答 解：过点F且斜率为-$\frac{b}{a}$的直线方程为y=-$\frac{b}{a}$（x-c），与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，联立，
得到A（$\frac{1}{2}c$，$\frac{bc}{2a}$），
∵△OAF的面积为4ab，
∴$\frac{1}{2}×c×$$\frac{bc}{2a}$=4ab，∴c=4a，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=4，
故选D．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查三角形面积的计算，体现方程思想，属于中档题．