Question

4．已知数列{a_n}，a_n=（2n+m）+（-1）ⁿ（3n-2）（m∈N^*，m与n无关），若$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1≤k²-2k-1对一切m∈N^*恒成立，则实数k的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 求出$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1关于m的函数式，求出其最大值，再解不等式即可得出k的范围．

解答 解：a_2i-1=2（2i-1）+m+（-1）^2i-1[3（2i-1）-2]=4i-2+m-（6i-5）=-2i+m+3，
$\sum_{i=1}^{2m}$a_2i-1=$\sum_{i=1}^{2m}$（-2i+m+3）=-2$\sum_{i=1}^{2m}$i+2m（m+3）=$\frac{2m+1}{2}×2m×（-2）$+2m²+6m=-2m²+4m，
∴-2m²+4m≤k²-2k-1恒成立，
∵-2m²+4m=-2（m-1）²+2≤2，
∴k²-2k-1≥2恒成立，即k²-2k-3≥0，
解得k≥3或k≤-1．
故答案为（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了数列求和，函数恒成立问题，不等式的解法，属于中档题．