Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉N*}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈N*}\end{array}\right.$，则S_3n=9n²+3n．

Answer 1

分析 由题意可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．a_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，可得：a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．分组求和即可得出．

解答 解：由题意可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．
a_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，
∴a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=3（a₁+a₄+…+a_3n-2）+9n
=3×$\frac{n（1+6n-5）}{2}$+9n
=9n²+3n．
故答案为：9n²+3n．

点评 本题考查了数列递推关系、分组求和、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．