Question

10．过抛物线y²=6x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则线段AB的中点M到y轴的距离为（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设BF=m，由抛物线的定义知AA₁和BB₁，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x₁+x₂的值，则根据中点坐标公式求得弦AB的中点到y轴的距离．

解答 解：抛物线y²=6x的焦点F（$\frac{3}{2}$，0），准线l的方程为x=-$\frac{3}{2}$，
如图，过A作AA₁⊥l于A₁，过B作BB₁⊥l于B₁，
过B作BC⊥AA₁于C，
设BF=m，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，可得AF=3m，
由抛物线的定义可得，
AA₁=3m，BB₁=m，
直角△ABC中，AC=3m-m=2m，AB=3m+m=4m，
可得∠CBA=30°，
则k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，
直线AB方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{3}{2}$）
与抛物线方程y²=6x联立，消y得3x²-15x+$\frac{27}{4}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=5，
所以AB中点到y轴的距离为$\frac{5}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了抛物线的定义、方程和简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．