Question

5．等边△ABC在椭圆内，A是椭圆中心，B是椭圆的一个焦点，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{3}$-1）
• B． （$\sqrt{3}$-1，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用椭圆方程，点与椭圆的位置关系，列出不等式，转化求解离心率即可．

解答 解：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
等边△ABC在椭圆内，A是椭圆中心，B是椭圆的一个焦点，
可得（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$）在椭圆内部．
可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}＜1$，可得e⁴-8e²+4＞0，解得e²$＜4-2\sqrt{3}$，
解得e∈（0，$\sqrt{3}-1$）．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．