Question

12．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）-f'（x）在区间[2，e]上的最大值为1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 求出g′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，可得函数g（x）在区间[2，e]上递增，g（e）=1-$\frac{1}{e}$，即函数g（x）=f（x）-f'（x）在区间[2，e]上的最大值为1-$\frac{1}{e}$

解答 解：∵f（x）=lnx，（x＞0），f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
在区间[2，e]上g′（x）＞0恒成立，即函数g（x）在区间[2，e]上递增，g（e）=1-$\frac{1}{e}$
∴函数g（x）=f（x）-f'（x）在区间[2，e]上的最大值为1-$\frac{1}{e}$
故答案为：1-$\frac{1}{e}$

点评 本题考查了利用导数求函数最值，属于中档题．