Question

3．某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．

类型 条件	A	B
配件材料费（万元）	20	5
工人数（人）	4	8

已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A类型机械可获纯利润4万元，组装1台B类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A，B两种类型机械分别为x台，y台．
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问该机械厂分别组装A，B两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出约束条件，画出可行域，求出目标函数以及最优解，然后求解即可．
（Ⅱ）列出目标函数，利用可行域求解目标函数的最优解，然后求出结果．

解答 解：（Ⅰ）由已知x，y满足生产条件的数学关系式，$\left\{\begin{array}{l}{20x+5y≤55}\\{4x+8y≤32}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4x+y≤11}\\{x+2y≤8}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
画出相应的平面区域；图中阴影部分．

（Ⅱ）设纯利润为z万元，则目标函数为：z=4x+2y，直线的斜率为-2，随z变化的一系列直线，
求出直线的截距的最大值，即可得到z的最大值，
由图象可知直线经过M时取得最大值，由$\left\{\begin{array}{l}{4x+y=11}\\{x+2y=8}\end{array}\right.$解得M（2，3）．
所以Z的最大值为：4×2+2×3=14．
所以，该机械厂分别组装A，B两种类型机械各2台，3台，才能获得最大利润14万元．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．