Question

12．在△ABC中，a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b和A的值分别是2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可求cosB，进而利用余弦定理可求b的值，利用正弦定理可求sinA的值，结合大边对大角可得A为锐角，从而可求A的值．

解答 解：∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=12+8+4$\sqrt{3}$-2×$2\sqrt{3}×$（$\sqrt{2}+$$\sqrt{6}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，可得：b=2$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵c＞a＞b，可得A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．