Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{2a}{c}$．
（1）求角C的大小；
（2）若边长c=$\sqrt{3}$，求a+2b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、诱导公式求得cosC的值，可得角C的值．
（2）利用正弦定理、三角恒等变换化简a+2b为=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，由此利用正弦函数的值域，求得它的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c满足$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{b}{c}$=$\frac{2a}{c}$，
∴$\frac{cosB}{cosC}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2sinA}{sinC}$，
即 $\frac{sinBcosC+cosBsinC}{sinCcosC}$=$\frac{2sinA}{sinC}$，
∴sin（B+C）=2sinAcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若边长c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
可得a+2b=2sinA+4sinB=2sinA+4sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sinA+4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=4sinA+2$\sqrt{3}$cosA
=2$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$cosA）=2$\sqrt{7}$sin（A+θ），其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
故当A=arcsin$\frac{2}{\sqrt{7}}$时，a=2b取得最大值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查正弦定理、三角恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．