Question

13．已知z₁=m²+$\frac{1}{m+1}$i，z₂=（2m-3）+$\frac{1}{2}$i，m∈R，i为虚数单位．且z₁+z₂是纯虚数．
（Ⅰ）求实数m的值．
（Ⅱ）求z₁•$\overline{z_2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出z₁+z₂，根据纯虚数的定义求出m的值即可；
（Ⅱ）求出$\overline{{z}_{2}}$，从而求出z₁•$\overline{z_2}$的值．

解答 解：（Ⅰ）${z_1}+{z_2}=（{m^2}+2m-3）+（\frac{1}{m+1}+\frac{1}{2}）i$，
∵z₁+z₂是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m^2}+2m-3=0\\ \frac{1}{m+1}+\frac{1}{2}≠0\end{array}\right.$，
则m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${z_1}=1+\frac{1}{2}i$，${z_2}=-1+\frac{1}{2}i$，
则$\overline{z_2}=-1-\frac{1}{2}i$，
∴${z_1}•\overline{z_2}=（1+\frac{1}{2}i）（-1-\frac{1}{2}i）$=$-{（1+\frac{1}{2}i）^2}$=$-（\frac{3}{4}+i）$=$-\frac{3}{4}-i$．

点评 本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识．考查概念识记、运算化简能力．