Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-1=0上，则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$的最小值是9．

Answer 1

分析 先将点P的坐标代入直线方程中，建立a与b的关系，再用1的代换，展开后利用基本不等式可达到目的．

解答 解：将点P的坐标代入直线方程中，得a+2b-1=0，即（a+b）+b=1．
∵P为第一象限内的点，∴a＞0，b＞0，∴a+b＞0，
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$）（a+b+b）=5+$\frac{4b}{a+b}$+$\frac{a+b}{b}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当$\frac{4b}{a+b}$=$\frac{a+b}{b}$时，取等号，
∴$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$的最小值是9．
故答案为：9．

点评 本题考查了基本不等式的运用及常见的变形技巧，其中“1”的替换起了关键作用．利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”．