Question

11．已知函数f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）求函数y=f（4x+2π），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期与单调增区间．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（4x+2π），x∈[0，$\frac{π}{2}$]时的最大值、最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）$，∴T=4π．
∵函数y=sinx的单调增区间为$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]，k∈Z$，
故由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
求得$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，
∴$f（x）的增区间为[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，k∈Z$．
（Ⅱ） 化简函数y=f（4x+2π），可得$y=-2sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}即x=\frac{π}{2}$时，函数y=f（4x+2π）的最大值为1；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即x=\frac{π}{6}$时，函数y=f（4x+2π）的最小值为-2．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．