对于函数y=f(x).若x0满足f(x0)=x0.则称x0为函数f(x)的一阶不动点.若x0满足f[f(x0)]=x0.则称x0为函数f(x)的二阶不动点.的二阶不动点．是定义在区间D上的增函数.且x0为函数f(x)的二阶不动点.求证:x0也必是函数f(x)的一阶不动点,=ex+x+a.a∈R.若f(x)在[0.1]上存在二阶不动点x0.求实数a的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．对于函数y=f（x），若x₀满足f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的一阶不动点，若x₀满足f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为函数f（x）的二阶不动点，
（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点．
（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x₀为函数f（x）的二阶不动点，求证：x₀也必是函数f（x）的一阶不动点；
（3）设f（x）=e^x+x+a，a∈R，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x₀，求实数a的取值范围．

分析（1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点．
（2）由题意f[f（x₀]=x₀，记f（x₀）=t，则f（t）=x₀，若t＜x₀，与假设t＜x₀相矛盾；若t＞x₀，与假设t＞x₀相矛盾；从而f（x₀）=x₀，由此能证明x₀也必是函数f（x）的一阶不动点．
（3）函数f（x）=e^x+x+a在R上单调递增，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x₀，则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x₀；推导出方程e^x+x+a=x在[0，1]上有解，由此能出a的取值范围．

解答解：（1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=2（2x+3）+3=4x+9，…（1分）
由f[f（x）]=x，得4x+9=x，解得x=-3，…（2分）
∴函数f（x）=2x+3的二阶不动点为x=-3，…（3分）
证明：（2）∵x₀是函数f（x）的二阶不动点，
∴f[f（x₀]=x₀，…（4分）
记f（x₀）=t，则f（t）=x₀，
若t＜x₀，则由f（x）在区间D上为增函数，
有f（t）＜f（x₀），即x₀＜t，这与假设t＜x₀相矛盾；…（5分）
若t＞x₀，则由f（x）在区间D上为增函数，
有f（t）＞f（x₀），即x₀＞t，这与假设t＞x₀相矛盾；…（6分）
∴t=x₀，即f（x₀）=x₀，
∴x₀是函数f（x）的一阶不动点，命题得证； …（7分）
解：（3）函数f（x）=e^x+x+a在R上单调递增，
则由（2）可知，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x₀，
则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x₀；
反之，若f（x）在[0，1]上存在一阶不动点x₀，即f（x₀）=x₀，
那么f[f（x₀]=f（x₀）=x₀，故f（x）在[0，1]上也存在二阶不动点x₀．…（8分）
所以函数f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x₀等价于f（x）=x在[0，1]上有解，…（9分）
即方程e^x+x+a=x在[0，1]上有解，…（10分）
∴a=-e^x在[0，1]上有解，…（11分）
由x∈[0，1]可得e^x∈[1，e]，∴-e^x∈[-e，-1]，
∴a的取值范围是[-e，-1]． …（12分）

点评本题考查二阶不动点的求法，考查x₀也必是函数f（x）的一阶不动点的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

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	关注点高	关注点低	总计
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女性用户	7	y	8
总计	10		16

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（Ⅱ）现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以X表示选中的同学中抢红包总次数超过10次的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
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P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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附：χΧ
²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

P（χ²≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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