Question

15．某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取20名男女用户，汇总数据如表

	不满意	满意	合计
男	1	4	5
女
合计			20

由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取2人，都是男生的概率是$\frac{2}{7}$．
（Ⅰ）根据条件完成以上2×2列联表，并据此判断有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．
（Ⅱ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：χΧ
²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

P（χ2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出n，完成2×2列联表，求出K²，与临界值比较，可得有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设满意的人数为n，依题意得：$\frac{C_4^2}{C_n^2}=\frac{2}{7}$，解得：n=7…（2分）
2×2列联表

	不满意	满意	合计
男	1	4	5
女	12	3	15
合计	13	7	20

…（3分）${Χ^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{20×{{（{12×4-1×3}）}^2}}}{13×7×15×5}≈5.934＞5.024$…（5分）
所以有97.5%把握认为“用户满意度”与性别有关．…（6分）
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3             …（7分）
P（X=1）=$\frac{{C_4^1C_{12}^1}}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{8}{25}$…（8分）
P（X=2）=$\frac{{C_4^2C_{12}^1+C_4^1C_3^1}}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{14}{25}$…（9分）
P（X=3）=$\frac{C_4^2C_3^1}{{C_5^2C_{15}^1}}=\frac{3}{25}$…（10分）
X的分布列

X	1	2	3
P	$\frac{8}{25}$	$\frac{14}{25}$	$\frac{3}{25}$

…（11分）$E（X）=1×\frac{8}{25}+2×\frac{14}{25}+3×\frac{3}{25}=\frac{9}{5}$…（12分）

点评 本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查数据分析处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查列联表、独立性检验思想，考查必然与或然思想、化归思想等