Question

5．甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为$\frac{2}{5}$，甲，丙两都考不上的概率为$\frac{6}{25}$，乙，丙两都考上的概率为$\frac{3}{10}$，且三人能否考上相互独立．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自考上的概率；
（Ⅱ）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出乙、丙两人各自考上的概率．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）设A表示“甲考上”，B表示“乙考上”，C表示“丙考上”，
则P（A）=$\frac{2}{5}$，且$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{2}{5}）（1-P（C））=\frac{6}{25}}\\{P（B）P（C）=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$，
解得P（C）=$\frac{3}{5}$，P（B）=$\frac{1}{2}$．
∴乙考上的概率为$\frac{1}{2}$，丙考上的概率为$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为1，3，
P（X=1）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{19}{25}$，
P（X=3）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列为：

X	1	3
P	$\frac{19}{25}$	$\frac{6}{25}$

EX=$1×\frac{19}{25}+2×\frac{6}{25}$=$\frac{31}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．