Question

16．己知函数f（x）=x²+（a+1）x+b
（1）若函数在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）的图象过点（3，3）且满足f（x）≥x恒成立，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出b=-3a-9，问题转化为x²+ax-3（a+3）≥0恒成立，根据△=0，求出a的值，从而求出b的值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+（a+1）x+b，
对称轴x=-$\frac{a+1}{2}$，开口向上，
∵函数在[1，+∞）上单调递增，
∴-$\frac{a+1}{2}$≤1，
解得：a≥-3；
（2）将（3，3）代入f（x）得：9+3a+3+b=3，
∴b=-3a-9，
∴f（x）=x²+（a+1）x-3（a+3），
∵f（x）≥x恒成立，
∴x²+ax-3（a+3）≥0恒成立，
∴△=a²+12（a+3）=0，
解得：a=-6，故b=9．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、函数恒成立问题，是一道中档题．