Question

1．（1）已知cosα=$\frac{3}{5}$，α为锐角，求tan2α的值；
（2）已知sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，θ为钝角，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式即可求tan2α的值．
（2）由已知可求范围θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），利用同角三角函数基本关系式可求cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值，利用θ=（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵cosα=$\frac{3}{5}$，α为锐角，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，从而可求tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$…1分
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{1-（\frac{4}{3}）^{2}}$=-$\frac{24}{7}$…6分
（2）∵sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，θ为钝角，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（θ+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{12}{13}$，…9分
∴cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]
=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{12}{13}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
=-$\frac{7\sqrt{2}}{26}$…14分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．