Question

12．已知过点M（$\frac{p}{2}$，0）的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-3，首先可以由韦达定理，得出抛物线的方程，然后，利用抛物线的定义，将|AM|与4|BM|进行表示，利用基本不等式，由取等的条件，求得点A，B的坐标，由两点间的距离公式即可求得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为：x=my+$\frac{p}{2}$，
将直线l的方程代入抛物线方程y²=2px，消去x，得，y²-2pmy-p²=0，
∴y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
∵$\stackrel{→}{OA}$•$\stackrel{→}{OB}$=-3，即x₁x₂+y₁y₂=-3，
x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴有$\frac{{p}^{2}}{4}$-p²=-3，
解得，p=2；（舍去负值），
∴x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
由抛物线的定义，可得，|AM|=x₁+1，|BM|=x₂+1，
则|AM|+4|BM|=x₁+4x₂+5≥2$\sqrt{{x}_{1}•4{x}_{2}}$+5=9，
当且仅当x₁=4x₂时取得等号．
由于x₁x₂=1，可以解得，x₂=2（舍去负值），∴x₁=$\frac{1}{2}$，
代入抛物线方程y²=4x，解得，y₁=$±\sqrt{2}$，y₂=±2$\sqrt{2}$，即有A（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{2}$）B（2，±2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（2-\frac{1}{2}）^{2}+（2\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查向量与抛物线的结合，考查基本不等式和韦达定理，考查学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．