Question

20．已知函数f（x）=|ax²-1|+x，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，且关于x的不等式f（x）-m≤0在R上有解，求m的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，2]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知将函数解析式去绝对值，根据函数的图象及其单调性可求函数的最小值，由题意可求m的最小值．
（Ⅱ）分类讨论a=0，a＜0，a＞0三种情况，分别求出对应的函数解析式，求出单调区间，从而可求函数f（x）在区间[-3，2]上不单调需满足的条件，进而可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，$f（x）=|2{x^2}-1|+x=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}+x-1，\;\;|x|≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\-2{x^2}+x+1，\;\;|x|＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，…1 分
结合图象可知，
函数在$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（\frac{1}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$上单调递减，在$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{4}），（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上单调递增，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…3 分
由已知得，m≥f（x）有解，只要m≥f（x）_min，
所以：$m≥-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即：m的最小值为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…5 分
（Ⅱ）（1）若a=0，则f（x）=x+1在[-3，2]上单调递增，不满足条件；…（6分）
（2）若a＜0，则ax²-1＜0，
所以：$f（x）=-a{x^2}+1+x=-a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+1+\frac{1}{4a}$，
在$（-∞，\frac{1}{2a}）$上递减，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上递增，
故f（x）在[-3，2]上不单调等价于：$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{2a}＞-3}\end{array}}\right.$解得$a＜-\frac{1}{6}$；…（8分）
（3）若a＞0，则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+x-1，\;x≤-\frac{1}{{\sqrt{a}}}或x≥\frac{1}{{\sqrt{a}}}\\-a{x^2}+x+1，\;-\frac{1}{{\sqrt{a}}}＜x＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$，…（9分）
结合图象，有以下三种情况：
①当$\frac{1}{2a}＞\frac{1}{{\sqrt{a}}}$，即$0＜a＜\frac{1}{4}$时，
函数f（x）在$[-\frac{1}{2a}，+∞）$上单调递增，在$（-∞，-\frac{1}{2a}]$上单调递减，
f（x）在[-3，2]上不单调等价于$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜\frac{1}{4}}\\{-\frac{1}{2a}＞-3}\end{array}}\right.$，解得 $\frac{1}{6}＜a＜\frac{1}{4}$；…11 分
②当$\frac{1}{2a}＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}$，即$a＞\frac{1}{4}$时，
函数在$（-∞，-\frac{1}{{\sqrt{a}}}），（\frac{1}{2a}，\frac{1}{{\sqrt{a}}}）$上单调递减，在$（-\frac{1}{{\sqrt{a}}}，\frac{1}{2a}），（\frac{1}{{\sqrt{a}}}，+∞）$上单调递增，
由于$-3＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}＜2$恒成立，
所以f（x）在区间[-3，2]上不单调成立，即$a＞\frac{1}{4}$符合题意；…13 分
③当$a=\frac{1}{4}$时，
f（x）在（-∞，-2）上递减，在（-2，+∞）上递增，
因此在[-3，2]上不单调，符合题意…14 分
综上所述，$a＜-\frac{1}{6}$或$a＞\frac{1}{6}$…15 分

点评 本题考查了二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．