Question

15．矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，将矩形沿对角线AC折起，使B点与P点重合，点P在平面ACD内的射影M正好在AD上．
（Ⅰ）求证CD⊥PA；
（Ⅱ）求二面角P-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PM⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．
（II）作MN⊥AC，垂足为N，连接PN，推导出∠PNM为所求二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵M是P点在平面AC的内的射影，
∴PM⊥平面ACD（1分）
∴PM⊥CD，又ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，（3分）
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA（5分）
解：（II）作MN⊥AC，垂足为N，连接PN，由PM⊥平面ACD，
得PM⊥AC，∴AC⊥PN，
∴∠PNM为所求二面角的平面角．  （7分）
设AM=a，在△rtACM中，∠MAC=30°，AC=2
∴$C{M^2}={a^2}+4-4×a×cos{30°}={a^2}-2\sqrt{3}a+4$
在rt△PMA中，PM²=1-a²
在rt△PMC中，由PC²=PM²+MC²得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
从而，$PM=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$（10分）
在rt△PAC中，$PN=\frac{PA×PC}{AC}=\frac{{1×\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
在rt△PMN中，$cos∠PNM=\frac{{\sqrt{P{N^2}-P{M^2}}}}{PN}$=$\frac{\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{6}{9}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即所求二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$．（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．