Question

4．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质Q．设f（x）在[1，3]上具有性质Q，现给出如下命题：
①若f（x）在x=2处取得最小值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
②对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]有f（$\frac{x{\;}_{1}+x{\;}_{2}+x{\;}_{3}+x{\;}_{4}}{4}$）≥$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
④f（x²）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性质Q；
其中真命题的序号是①②．

Answer 1

分析 根据题设条件，证明①和②是正确的．分别举出反例，说明③和④都是错误的；

解答 解：在①中：在[1，3]上，f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\end{array}\right.$，
故f（x）=1，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故①成立；
在②中，对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}（{x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
≤$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（f（x₁ ）+f（x₂））+$\frac{1}{2}$（f（x₃）+f（x₄））]
=$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故②成立．
在③中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，1≤x＜3}\\{2，x=3}\end{array}\right.$在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故③不成立；
在④中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{3}$]上不满足性质P，
故④不成立；
故真命题的序号为：①②，
故答案为：①②

点评 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．