Question

3．给出下列四个命题：
①设x₁，x₂∈R，则x₁＞1且x₂＞1的充要条件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；
②“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件；
③命题“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
④已知n个散点A_i（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n）的线性回归方程为y=bx+a，若a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，（其中$\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$x_i，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$y_i），则此回归直线必经过点（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．
其中正确命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 ①根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据全称命题的否定是特称命题进行判断，
④根据线性回归直线的性质进行判断．

解答 解：①若x₁＞1且x₂＞1，则x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，即充分性成立，
当x₁=8且x₂=$\frac{1}{2}$满足x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1成立，但x₁＞1且x₂＞1不成立，即必要性不成立，
即x₁，x₂∈R，则x₁＞1且x₂＞1的充要条件是x₁+x₂＞2且x₁x₂＞1；错误，
②当α=$\frac{π}{6}$时，sinα=$\frac{1}{2}$成立，当α=$\frac{5π}{6}$时，满足sinα=$\frac{1}{2}$”但α=$\frac{π}{6}$不成立，
即“α=$\frac{π}{6}$”是“sinα=$\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件；故②正确，
③命题“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²＜0”；故③错误，
④已知n个散点A_i（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n）的线性回归方程为y=bx+a，若a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，（其中$\overline{x}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$x_i，$\overline{y}$=$\frac{1}{n}$$\sum_{i=1}^{n}$y_i），则此回归直线必经过点（$\overline{x}$，$\overline{y}$）．正确，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定以及回归直线的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．