Question

11．如图，在半径为$\sqrt{3}$，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．
（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$的值；
（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定函数的定义域．
（Ⅱ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的最值性质求出矩形面积的最大值．以及利用向量数量积的定义进行求解即可．
（Ⅲ）根据几何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面积y≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$时，对应的角θ的取值范围，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，$PO=\sqrt{3}$，
所以$PN=\sqrt{3}sinθ$，$ON=\sqrt{3}cosθ$，
在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=$\sqrt{3}sinθ$
所以OM=$\frac{QM}{tan∠QON}=\frac{\sqrt{3}sinθ}{tan60°}=sinθ$
所以：MN=ON-OM=$\sqrt{3}cosθ-sinθ$
所以y=$PN•NM=\sqrt{3}sinθ（\sqrt{3}cosθ-sinθ）$
即：y=3sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ，（$0＜θ＜\frac{π}{3}$）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ=$\frac{3}{2}sin2θ$-$\sqrt{3}•\frac{1-cos2θ}{2}$
=$\sqrt{3}（sin2θcos\frac{π}{6}+cos2θsin\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵θ∈（0，$\frac{π}{3}$）
∴$2θ+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
∴sin（$2θ+\frac{π}{6}$）∈$（\frac{1}{2}，1]$
∴$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$时，y的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
此时ON=$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$=|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{4}$．
（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$，
则$\sqrt{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$，
即$\sqrt{3}$sin（$2θ+\frac{π}{6}$）≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则sin（$2θ+\frac{π}{6}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$2θ+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
∴$\frac{π}{4}$≤$2θ+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{4}$，
即$\frac{π}{24}$≤θ≤$\frac{7π}{24}$，
则对应的概率P=$\frac{\frac{7π}{24}-\frac{π}{24}}{\frac{5π}{6}-\frac{π}{6}}$=$\frac{3}{8}$

点评 本题考查三角函数模型的建立，考查三角函数的最值，三角函数解析式的应用以及向量数量积，几何概型的概率的计算，综合考查学生分析解决问题的能力，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．