Question

【题目】设函数f（x）=log2x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（ ）
A.2
B.1
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数f（x）=log2x+ax+b（a＞0），

由y=log2x，y=ax+b在（0，+∞）递增，

可得f（x）在（0，+∞）递增，

由对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，

可得﹣1﹣a≤f（x）≤1+a恒成立，

即有﹣1﹣a≤f（x）min=f（t）=log2t+at+b，①

1+a≥f（x）max=log2（t+2）+a（t+2）+b，

即为﹣1﹣a≤﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，②

①+②可得﹣2﹣2a≤log2t+at+b﹣log2（t+2）﹣a（t+2）﹣b，

化为log2 ≥﹣2，

解得 ≥ ，

解得t≥ ，

则t的最小值为 ，

故选：D．

【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．