Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，∠F₁PF₂=

π

3

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件结合双曲线定义知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，再由∠F₁PF₂=

π

3

，利用余弦定理推导出c=

3

a，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，
P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，
∴由双曲线定义知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴（2c）²=（2a）²+（4a）²-2•2a•4a•cos

π

3

，
解得c=

3

a，
∴e=

c

a

=

3 a

a

=

3

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．