Question

（2009•红桥区二模）已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=p，b₁=q，又a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2，n∈N⁺）（p、q、r为常数，且pqr≠0，p≠r）．
（Ⅰ）写出b₂，b₃，b₄（用p、q、r表示）；
（Ⅱ）试推测出b_n用p、q、r、n表示的公式；
（Ⅲ）请用数学归纳法证明你（Ⅱ）中的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据a_n=pa_n-1求出a_n的表达式，然后代入n=1，2，3进行求出b₁、b₂、b₃的式子，
（Ⅱ）猜想b_n=

q(pn-rn)

p-r

，
（Ⅲ）按照数学归纳法证明的步骤分3步进行即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
（Ⅱ）猜想b_n=q（p^n-1+p^n-2r+…+r^n-1）=

q(pn-rn)

p-r

；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
当n=2时，b₂=q（p+r）=

q(p2-r2)

p-r

，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即bk=

q(pk-rk)

p-r

，
则当n=k+1时，b_k+1=qa_k+rb_k=qp^k+

rq(pk-rk)

p-r

=

qpk(p-r)+rq(pk-rk)

p-r

=

q[(pk+1-pkr)+(rpk-rk+1)]

p-r

=

q(pk+1-rk+1)

p-r

，
即n=k+1时等式也成立，
所以对于一切自然数n≥2，bn=

q(pn-rn)

p-r

都成立．

点评：本题主要考查数列通项公式的求法和数学归纳法的证明．考查综合运用能力．